Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2014 год

Пусть $AD$ — медиана треугольника $ABC$, причем $\angle ADB=45{}^\circ $ и $\angle ACB=30{}^\circ $. Найдите величину угла $BAD$.

Комментарий/решение

Проведем перпендикуляр из точки $A $ к прямой $BC $ и получим точку $A_1$. Пусть $DA_1=AA_1=x $, пусть $A_1B=a $, тогда $BD=CD=x-a;CA_1=2x-a; $ из треугольника $ABA_1$ получим $AB=\sqrt {x^2+a^2} $

Из треугольника $ADA_1$ получим $AD=x\sqrt 2$. Кроме того, $ AC=\dfrac {x}{sin \angle ACB}=2x $; но с другой стороны $ AC=\dfrac {CA_1}{cos\angle ACB} $, то есть $2x=\dfrac {2x-a }{\dfrac {\sqrt 3}{2}} $,откуда ясно,что $a=x (2-\sqrt 3) $. Кроме того, из треугольника $ABC $ получим $$2 (AC^2+AB^2)=(2AD)^2+BC^2$$,откуда $2x^2+2a^2=8ax $. По теореме косинусов из треугольника $ADB$ получим $ coS \angle BAD=\dfrac {x^2+ax}{x\sqrt {2x^2+2a^2}}=\dfrac { x+a}{\sqrt {2x^2+2a^2}}=\dfrac {x+a}{\sqrt 8ax}=\dfrac {x+2x-x\sqrt 3}{2\sqrt {4x^2-2x^2\sqrt 3}}$ . В результате преобразованиц получается, что косинус искомого угла равен $\dfrac {\sqrt 3}{2} $, то есть искомый угол 30 градусов