Қалалық Жәутіков олимпиадасы 8 сынып, 2014 жыл

$ABC$ үшбұрышында $AD$ — медиана және де $\angle ADB=45{}^\circ$, $\angle ACB=30{}^\circ$. $BAD$ бұрышының шамасын табыңдар.

Комментарий/решение

Проведем перпендикуляр из точки $A$ к прямой $BC$ и получим точку $A_1$. Пусть $DA_1=AA_1=x$, пусть $A_1B=a$, тогда $BD=CD=x-a;CA_1=2x-a;$ из треугольника $ABA_1$ получим $AB=\sqrt {x^2+a^2}$

Из треугольника $ADA_1$ получим $AD=x\sqrt 2$. Кроме того, $AC=\dfrac {x}{sin \angle ACB}=2x$; но с другой стороны $AC=\dfrac {CA_1}{cos\angle ACB}$, то есть $2x=\dfrac {2x-a }{\dfrac {\sqrt 3}{2}}$,откуда ясно,что $a=x (2-\sqrt 3)$. Кроме того, из треугольника $ABC$ получим $$2 (AC^2+AB^2)=(2AD)^2+BC^2$$ ,откуда $2x^2+2a^2=8ax$. По теореме косинусов из треугольника $ADB$ получим $coS \angle BAD=\dfrac {x^2+ax}{x\sqrt {2x^2+2a^2}}=\dfrac { x+a}{\sqrt {2x^2+2a^2}}=\dfrac {x+a}{\sqrt 8ax}=\dfrac {x+2x-x\sqrt 3}{2\sqrt {4x^2-2x^2\sqrt 3}}$ . В результате преобразованиц получается, что косинус искомого угла равен $\dfrac {\sqrt 3}{2}$, то есть искомый угол 30 градусов

Проведем высоту ВН. Напротив 30 градусов ВН => ВН=BD=DC. Проведем медиану из прямого угла HD => HD=BD=DC => ΔBDH - правильный. Считая углы, мы придем к выводу, что угол HDA=15°. Но не сложно заметить, что угол HAD=180°-90°-60°-15°=15° -> AH=HD=BH. ΔAHB - равнобедренный и прямоугольный => угол HAB=45° -> угол BAD=45°-15°=30°