Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2014 год

Эльфы, гномы и гоблины встали в круг. Когда Мерлин попросил поднять руку эльфов, рядом с которыми стоит гоблин, руку подняли 20 эльфов. А когда он попросил поднять руку гномов, рядом с которыми стоит гоблин, руку подняли 25 гномов. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два гоблина.

Комментарий/решение

Сделаем предположение, что это не так, то есть в окрестности негоблина максимум один гоблин. В таком случае, между двумя гоблинами обязательно будет как минимум 2 негоблина. Но в таком случае рядом с любым гоблином поднимут руку 2 негоблина. То есть количества гоблинов равно половине негоблинов. Так как задействованных негоблинов 45,то количество гоблинов равно $\dfrac {45}{2}$, то есть не целое число. Получим противоречие, следовательно, предположение не верно, что доказывает требуемое.