Қалалық Жәутіков олимпиадасы 7 сынып, 2014 жыл

Эльфтар, гномдар және гоблиндер шеңберге тұрды. Мерлин жанында гоблин тұрған эльфтардың қолын көтеруін сұрады, қолдарын 20 эльф көтеді. Ал жанында гоблин тұрған гномдардың қолдарын көтеруін сұрағанда, 25 гном қол көтерді. Қол көтергендердің ішіндегі біреуінің жанында бірден екі гоблин тұрғанын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Сделаем предположение, что это не так, то есть в окрестности негоблина максимум один гоблин. В таком случае, между двумя гоблинами обязательно будет как минимум 2 негоблина. Но в таком случае рядом с любым гоблином поднимут руку 2 негоблина. То есть количества гоблинов равно половине негоблинов. Так как задействованных негоблинов 45,то количество гоблинов равно $\dfrac {45}{2} $, то есть не целое число. Получим противоречие, следовательно, предположение не верно, что доказывает требуемое.