Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2010 год

Точка $M$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. Точка $D$ на стороне $BC$ такова, что $\angle BMA=\angle DMC$. Оказалось, что $CD+DM=BM$. Докажите, что $\angle ACB+\angle ABM=\angle BAC$.

Комментарий/решение

1)Отложим отрезок $CE=AC$, где $E\in AB$

2)По построению, $\Delta AEC$ - равнобедренный, $\Rightarrow \angle CEA = \angle CAE$

3)Пусть $BM \cap EC = T$. Обозначим $\angle EBT= y;\; \angle BTE = x$

4)Рассчитаем угол $\angle CEA$

$$\angle CEA=180^\circ - \angle BET = 180^\circ - (180^\circ - x - y) = x +y$$

По пункту $(2):\;\;\;\angle CAE = x + y = \angle BAC$

5)Дополнительное построение: построим отрезок $DF=DC;\;DF\parallel DM$.

6) $MF=MD+DF=MD+DC=MB\Rightarrow MF=MB$

7)Треугольники $\Delta AMB = \Delta CMF$ по двум сторонам и одному углу ($AM=MC$ - по условию,$MF=MB$ - пункт (6), $\angle BMA=\angle DMC$ - условие)

8) Из равенства треугольников (7) следует, что $\angle FCM=\angle BAM = x + y$ и $\angle ABM=\angle CFM = y$

9) По построению $\Delta FDC$ - равнобедренный, а значит $\angle DFC =\angle DCF = y$

10) Из пунктов (9) и (8) следует, что $\angle ACB = (x+y)-y=x$

11)Подведем итог.

$$\angle ACB = x;\;\; \angle ABM=y;\;\;\angle BAC= x+y$$

Утверждение задачи доказано