Қалалық Жәутіков олимпиадасы
7 сынып, 2010 жыл
M – ABC үшбұрышының AC қабырғасының ортасы. D нүктесі ∠BMA=∠DMC болатындай BC қабырғасынан алынған. Сонда CD+DM=BM болып шықты. Онда ∠ACB+∠ABM=∠BAC теңдігі орындалатынын дәлелдендер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
1)Отложим отрезок CE=AC, где E∈AB
2)По построению, ΔAEC - равнобедренный, ⇒∠CEA=∠CAE
3)Пусть BM∩EC=T. Обозначим ∠EBT=y;∠BTE=x
4)Рассчитаем угол ∠CEA
∠CEA=180∘−∠BET=180∘−(180∘−x−y)=x+y
По пункту (2):∠CAE=x+y=∠BAC
5)Дополнительное построение: построим отрезок DF=DC;DF∥DM.
6) MF=MD+DF=MD+DC=MB⇒MF=MB
7)Треугольники ΔAMB=ΔCMF по двум сторонам и одному углу (AM=MC - по условию,MF=MB - пункт (6), ∠BMA=∠DMC - условие)
8) Из равенства треугольников (7) следует, что ∠FCM=∠BAM=x+y и ∠ABM=∠CFM=y
9) По построению ΔFDC - равнобедренный, а значит ∠DFC=∠DCF=y
10) Из пунктов (9) и (8) следует, что ∠ACB=(x+y)−y=x
11)Подведем итог.
∠ACB=x;∠ABM=y;∠BAC=x+y
Утверждение задачи доказано
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.