Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 8 сынып

Әкесінің бес қадам ұзындығы баласының үш қадам ұзындығына тең. Әкесі алды қадам жасағанда, баласы жеті қадам жасайды. Баласы 30 қадам жасағаннан кейін ғана әкесі қадам жасай бастады. Баласын қуып жетіп алу үшін әкесі қанша қадам жасау керек?

Комментарий/решение

Ответ :$60$ шагов.

Решение. Пусть длина шага отца равна $\dfrac {a}{3} $, а длина шага сына равна $\dfrac {a}{5} $. Всего сын сделает $(30+x) $ шагов, а отец $y $. Тогда расстояние, пройденное сыном, это $\dfrac {(30+ x)a}{5} $, а $\dfrac {ay}{3} $-расстояние, пройденное отцом. Так как отец догнал сына то эти расстояния можно приравнять. Кроме того, $\dfrac {x}{y}=\dfrac {7}{6} $,откуда $y=\dfrac {6}{7}x $. Теперь запишем уравнение $$\dfrac {(30+x)a}{5}=\dfrac {ay}{3}=\dfrac {6ax}{21} $$. Откуда делим обе части на $a $ получим обычное линейное уравнение . $x=70$ ; $y=\dfrac {6}{7}\cdot 70=60$ шагов -у отца