Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2007 год

Во время первенства класса по шахматам двое участников, сыграв равное количество партий, заболели и выбыли из турнира, а остальные участники доиграли турнир до конца. Играли ли выбывшие участники между собой, если всего было сыграно 23 партии? (Каждый играл с каждым 1 партию)

Комментарий/решение

$n$ ойыншы қатысқан болсын. Олар барлығы $\frac{n(n-1)}{2}$ партия ойнауы керек. Ауырып шығып кеткен екі қатысушыдан басқа қалған қатысушалар бір бірімен $\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ партия ойнайды. Шарт бойынша $\frac{(n-2)(n-3)}{2}\leq 23\leq \frac{n(n-1)}{2}.$ Бұдан $n=8$ немесе $n=9$. Екі жағдайда да ойналмай қалған партиялар саны $\frac{n(n-1)}{2}-23$ - тақ. Есеп шарты бойынша екі қатысушының ойналмай қалған париялар саны тең және олардың қосындысы жұп, яғни ойналмай қалған партиялар санына тең бола алмайды. Бұл жалғыз жағдайда мүмкін: шығып кеткен екі қатысушының өзара ойнаған партиясын қосындыға. екі рет алған жағдайда. Онда шығып кеткен екі қатысушы өзара ойнамаған.