Қалалық Жәутіков олимпиадасы 7 сынып, 2007 жыл

Сыныптағы шахмат жарысы кезінде екі қатысушы бірдей партия ойнағаннан кейін ауырып қалып жарыстан шығып қалды, ал қалған қатысушылар турнирді аяғына дейін жеткізді. Егер барлығы 23 партия ойналса, онда шығып қалған екі қатысушы бір-бірімен ойнады ма? (Турнирге қатысушылар бір-бірімен 1 партия ойнады).

Комментарий/решение

$n$ ойыншы қатысқан болсын. Олар барлығы $\frac{n(n-1)}{2}$ партия ойнауы керек. Ауырып шығып кеткен екі қатысушыдан басқа қалған қатысушалар бір бірімен $\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ партия ойнайды. Шарт бойынша $\frac{(n-2)(n-3)}{2}\leq 23\leq \frac{n(n-1)}{2}.$ Бұдан $n=8$ немесе $n=9$. Екі жағдайда да ойналмай қалған партиялар саны $\frac{n(n-1)}{2}-23$ - тақ. Есеп шарты бойынша екі қатысушының ойналмай қалған париялар саны тең және олардың қосындысы жұп, яғни ойналмай қалған партиялар санына тең бола алмайды. Бұл жалғыз жағдайда мүмкін: шығып кеткен екі қатысушының өзара ойнаған партиясын қосындыға. екі рет алған жағдайда. Онда шығып кеткен екі қатысушы өзара ойнамаған.