Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2006 год

Докажите, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $\dfrac{{{(a+b)}^{2}}}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$.

Комментарий/решение

$$\frac {(a+b)^2}{2}+\frac {a+b}{4}\geq 2\frac{a+b}{2}\sqrt {\frac {a+b}{2}}\geq2\sqrt {ab}\sqrt {\frac {a+b}{2}}\geq \sqrt {ab}(\sqrt {a}+\sqrt {b})\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 2\sqrt {\frac {a+b}{2}}\geq \sqrt {a}+\sqrt {b} \Rightarrow 2 (a+b)\geq a+b+2\sqrt {ab} \Rightarrow a-2\sqrt {ab}+b=(\sqrt {a} +\sqrt {b})^2\geq 0$$