Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2006 год

Сравните без помощи калькулятора числа: $$\sqrt{2006}+\sqrt{2005+\sqrt{2006}} \quad\text{и} \quad\sqrt{2005}+\sqrt{2006+\sqrt{2005}}.$$

Комментарий/решение

$k=2005$ деп белгілейік. $A>0$ бірінші сан, $B>0$ екінші сан. Сонда $A=\sqrt{k+1}+\sqrt{k+\sqrt{k+1}}.$

$B=\sqrt{k}+\sqrt{k+1+\sqrt{k}}.$

$A$ және $B$ сандарын квадраттаймыз:

$A^2=\left ( \sqrt{k+1}+\sqrt{k+\sqrt{k+1}} \right)^2=2k+1+\sqrt{k+1}+2\sqrt{k(k+1)+(k+1)\sqrt{k+1}}.$

$B^2=\left (\sqrt{k}+\sqrt{k+1+\sqrt{k}}\right )^2=2k+1+\sqrt{k}+2\sqrt{k(k+1)+k\sqrt{k}}.$

$\sqrt{k+1}> \sqrt{k}$ және $(k+1)\sqrt{k+1}> k\sqrt{k}.$

Сондықтан $A>B.$