Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2006 год

Даны действительные числа $a,b,c$, причем$a > b > c$. Докажите неравенство ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a > {{b}^{2}}a+{{a}^{2}}c+{{c}^{2}}b$.

Комментарий/решение

Барлық қосылғыштарды теңдіктің сол жағына көшіріп жазып, көбейткіштерге жіктейміз

$$a^2b+b^2c+c^2a-b^2a-a^2c-c^2b>0$$

$$a^2(b-c)+bc(b-c)-a(b-c)(b+c)-a(b-c)(b+c)>0$$

$$(b-c)(a^2+bc-ab-ac)$$

$$(a-b)(a-c)(b-c)>0$$

Д.К.О.