Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2006 год

Пусть в треугольнике $M$ середина $AB$ и $D\in AC$ основания биссектрисы угла $\angle ABC$. Докажите, что $AB=3BC$, если $MD\bot BD$.

Комментарий/решение

Проведём из точки $D$ к стороне $AB$ параллельную к $BC$ прямую , положим что она пересекает её в точке $L$ тогда $ ML=LB=LD$ . Тогда из подобия $\Delta LAD $ и $ \Delta ABC$ , $\frac{AB}{BC} = \frac{AL}{LD} = \frac{AB}{LD} - 1 = 4 - 1 = 3$