Қалалық Жәутіков олимпиадасы 8 сынып, 2006 жыл

Үшбұрыштың $AB$ қабырғасының ортасы $M$ және $D\in AC$ $ABC$ бұрышының биссектрисасының табаны. Егер $MD\perp BD$ болса, онда $AB=3BC$ екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Проведём из точки $D$ к стороне $AB$ параллельную к $BC$ прямую , положим что она пересекает её в точке $L$ тогда $ ML=LB=LD$ . Тогда из подобия $\Delta LAD $ и $ \Delta ABC$ , $\frac{AB}{BC} = \frac{AL}{LD} = \frac{AB}{LD} - 1 = 4 - 1 = 3$