Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 10 класс

Дана трапеция $ABCD$ с основанием $AD$. Обозначим точку пересечения биссектрис внешних углов $A$ и $B$ через $M$, и точку пересечения биссектрисы внешних углов $C$ и $D$ через $N$. Доказать что длина отрезка $MN$ равна половине периметра трапеции.

Комментарий/решение

Проведем из точки $B$ прямую до пересечения с $AD$ , положим что $X \in AD \cap BM$ тогда треугольник $BAX$ равнобедренный , откуда $BM=\dfrac{BX}{2}$ , аналогично определим и другую точку $Y$, то есть $MN$ средняя линия $\Delta XYZ$ , $Z \in MB \cap CN$ , тогда $MN = \dfrac{XY}{2} = \dfrac{BC+AD}{2}+\dfrac{AB+CD}{2} = \dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}$

h_Чертеж@https://ggbm.at/anM8yuPr_h

не заметил , что внешние биссектрисы , спасибо .