Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып

Табаны $AD$ болатын $ABCD$ трапециясы берілген. $M$ нүктесі $A$ және $B$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі, ал $N$ нүктесі $C$ және $D$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі. $MN$ кесіндісі трапеция периметрінің жартысына тең болатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Проведем из точки $B$ прямую до пересечения с $AD$ , положим что $X \in AD \cap BM$ тогда треугольник $BAX$ равнобедренный , откуда $BM=\dfrac{BX}{2}$ , аналогично определим и другую точку $Y$, то есть $MN$ средняя линия $\Delta XYZ$ , $Z \in MB \cap CN$ , тогда $MN = \dfrac{XY}{2} = \dfrac{BC+AD}{2}+\dfrac{AB+CD}{2} = \dfrac{AB+BC+CD+AD}{2}$

h_Чертеж@https://ggbm.at/anM8yuPr_h

не заметил , что внешние биссектрисы , спасибо .