Городская Жаутыковская олимпиада, 8-9 классы, 2003 год

Решите систему уравнений в действительных числах $\left\{ \begin{gathered} \left| {x + y - 4} \right| = 5,\\ \left| {x - 3} \right| + \left| {y - 1} \right| = 5. \\ \end{gathered} \right.$

Комментарий/решение

$$\left\{ \begin{gathered} |x+y-4| = 5,\\ |x-3|+|y-1| = 5, \\\end{gathered} \right.$$

$$1)\left\{ \begin{gathered} x+y=9 ,\\ |x-3|+|y-1| = 5, \\\end{gathered} \right.$$

$$x=9-y$$ $$|6-y|+|y-1|=5\Rightarrow y_1=6\Rightarrow x_1=3\Rightarrow y_2=1 \Rightarrow x_2=8 $$

$$2)\left\{ \begin{gathered} x+y=-1 ,\\ |x-3|+|y-1| = 5, \\\end{gathered} \right.$$

$$x=-y-1$$

$$|-y-4|+|y-1|=5\Rightarrow y_3=0\Rightarrow x_3=-1\Rightarrow y_4=-4\Rightarrow x_4=3 $$

$$ Oтвет (x_n;y_n): (3;6)(8;1)(-1;0)(3;-4)$$