Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2002 год

Шестизначное число делится на 7. Его первую цифру стерли, а затем записали ее позади последней цифры числа. Докажите, что вновь получившееся шестизначное число тоже делится на 7.

Комментарий/решение

Пусть $\overline{abcdef}$- искомое число, заменяем $\overline{bcdef}$ на $x$, тогда $10^5 \cdot a+x$ делится на $7$, $\Rightarrow 10^6 \cdot a+10x$ тоже делится на $7$, а новое число $=10x+a$, $$10^6 \cdot a+10x-10x-a=(10^6-1)a,$$ что делится на $7$