Қалалық Жәутіков олимпиадасы 8 сынып, 2002 жыл

Алты таңбалы сан 7-ге бөлінеді. Бірінші цифрын өшіріп, оны соңғы цифрдың соңына жазды. Пайда болған алты таңбалы санның да 7-ге бөлінетінін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $\overline{abcdef}$- искомое число, заменяем $\overline{bcdef}$ на $x$, тогда $10^5 \cdot a+x$ делится на $7$, $\Rightarrow 10^6 \cdot a+10x$ тоже делится на $7$, а новое число $=10x+a$, $$10^6 \cdot a+10x-10x-a=(10^6-1)a,$$ что делится на $7$