Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2013 год


На прямой, содержащей высоту AA1, треугольника ABC (B90), взята точка F отличная от точек A и A1 так, что прямые BF и CF пересекают прямые AC и AB в точках B1 и C1 соответственно. Из точек B и F опущены перпендикуляры BP, BQ, FS, FR на прямые A1B1 и A1C1. Докажите, что прямые PQ, SR и BB1 пересекаются в одной точке.
а) Решите задачу, когда F — точка пересечения высот треугольника ABC.
б) Решите задачу для произвольной точки F.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 месяца 29 дней назад #

Из теоремы Бланше следует, что A1F и A1B являются биссектрисами смежных углов, откуда задача переходит в эту. Доказательство этой задачи:

P зафиксируем. Линейное движение точки Q дает не менее линейное движение ABCD=R, так как AB фиксировано, а точки C,D движутся с одной скоростью из вершины угла. Для доказательства совпадения прямых PQ и PR достаточно рассмотреть тривиальные положения.