Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2013 жыл
ABC үшбұрышының (∠B≠90∘) AA1 биіктігінен A және A1 нүктелерімен беттеспейтін F нүктесі алынған. BF және CF түзулері сәйкесінше AC және AB түзулерімен B1 және C1 нүктелерінде қиылысады. B және F нүктелерінен A1B1 және A1C1 түзулеріне сәйкесінше BP, BQ, FS, FR перпендикулярлары түсірілген. PQ, SR және BB1 түзулерінің бір нүктеде қиылысанынын дәлелдеңіздер.
а) Есепті F — ABC-ның биіктіктер қиылысу нүктесі боған жағдай үшін шығарыңыздар.
б) Есепті кез келген F нүктесі үшін шығарыңыздар.
посмотреть в олимпиаде
а) Есепті F — ABC-ның биіктіктер қиылысу нүктесі боған жағдай үшін шығарыңыздар.
б) Есепті кез келген F нүктесі үшін шығарыңыздар.
Комментарий/решение:
Из теоремы Бланше следует, что A1F и A1B являются биссектрисами смежных углов, откуда задача переходит в эту. Доказательство этой задачи:
P зафиксируем. Линейное движение точки Q дает не менее линейное движение AB∩CD=R, так как AB фиксировано, а точки C,D движутся с одной скоростью из вершины угла. Для доказательства совпадения прямых PQ и PR достаточно рассмотреть тривиальные положения.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.