Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2013 год

На прямой, содержащей высоту $A{{A}_{1}}$, треугольника $ABC$ $(\angle B\ne 90{}^\circ )$, взята точка $F$ отличная от точек $A$ и ${{A}_{1}}$ так, что прямые $BF$ и $CF$ пересекают прямые $AC$ и $AB$ в точках ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ соответственно. Из точек $B$ и $F$ опущены перпендикуляры $BP$, $BQ$, $FS$, $FR$ на прямые ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ и ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$. Докажите, что прямые $PQ$, $SR$ и $B{{B}_{1}}$ пересекаются в одной точке.
а) Решите задачу, когда $F$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$.
б) Решите задачу для произвольной точки $F$.

Комментарий/решение

Из теоремы Бланше следует, что $A_1F$ и $A_1B$ являются биссектрисами смежных углов, откуда задача переходит в эту. Доказательство этой задачи:

$P$ зафиксируем. Линейное движение точки $Q$ дает не менее линейное движение $AB\cap CD=R$, так как $AB$ фиксировано, а точки $C,D$ движутся с одной скоростью из вершины угла. Для доказательства совпадения прямых $PQ$ и $PR$ достаточно рассмотреть тривиальные положения.