Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2011 жыл


Центрі O болатын ω шеңберіне S нүктесінен SA және SB жанамалары жүргізілген. ω шеңберінде ACOB және CC ω-ның диаметрі болатындай C мен C нүктелері алынған. BC мен SA түзулері K, ал KC пен AC түзілері M нүктесінде қиылыссын. Егер BMK бұрышы тік болса, онда MKC үшбұрышында M нүктесінен түсірілген биіктік C нүктесінен түсірілген биіктікті қақ ортасынан бөлетінін дәлелде. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
9 месяца 5 дней назад #

KCω=PC.

BMK=CPC=90CP||BM. По замечательному свойству трапеции CMPB=Q такая точка, что KQ проходит через середину CP. Надо показать QPKC - вписанный:

(QC,CK)=(AC,CB)=(AC,CB)

и еще CACA||BOBC=BA, а значит

(QP,PK)=(BP,PC)=(BA,AC)=(AC,CB)

из-за чего QPKC оказывается вписанным, что и надо было.