25-я Балканская математическая олимпиадаОхрид, Македония, 2008 год

Пусть $ c $ — натуральное число. Последовательность $ a_1, a_2, \ldots $ определена следующим образом: $ a_1=c$ и $ a_{n+1}=a_n^2+a_n+c^3$, для всех натуральных $ n $. Найдите все такие $ c $, для которых существуют целые числа $ {k \ge 1}$ и $ {m \ge 2}$, что число $ a_k^2+c^3$ является $ m$-ой степенью некоторого целого положительного числа.