25-я Балканская математическая олимпиадаОхрид, Македония, 2008 год

Пусть $c$ — натуральное число. Последовательность $a_1, a_2, \ldots$ определена следующим образом: $a_1=c$ и $a_{n+1}=a_n^2+a_n+c^3$, для всех натуральных $n$. Найдите все такие $c$, для которых существуют целые числа ${k \ge 1}$ и ${m \ge 2}$, что число $a_k^2+c^3$ является $m$-ой степенью некоторого целого положительного числа.