Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 11 класс

Пусть $a, b, c$ — действительные числа такие, что $a + b + c = 0$ и $a^4 + b^4 + c^4 = 50$. Определите $ab + bc + ca$.

Комментарий/решение

$(a^2+b^2+c^2)^2=50+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$

$a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ac)$

$4(ab+bc+ac)^2=50+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$

$(ab+bc+ac)^2 = a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc(a+b+c)=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$

То есть $ab+bc+ac=-5$