Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып

$a+b+c=0$ және ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}=50$ шарттарын қанағаттандыратын $a,b,c$ нақты сандары берілген. $ab+bc+ca$ мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

$(a^2+b^2+c^2)^2=50+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$

$a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ac)$

$4(ab+bc+ac)^2=50+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$

$(ab+bc+ac)^2 = a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc(a+b+c)=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2$

То есть $ab+bc+ac=-5$