Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, II тур заключительного этапа

Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей: например, совершенным является число 6, так как $2\cdot 6 = 1+2+3+6$. Может ли сумма всех попарных произведений натуральных делителей совершенного числа $n$ делиться на $n^2$? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Не может.
Заметим, что совершенное число равно сумме всех своих натуральных делителей, меньших его самого. Пусть у совершенного числа $n$ такие делители равны $d_1$, $\dots$, $d_k$. Сумма всех попарных произведений его делителей равна $$nd_1+\dots+nd_k+d_1d_2+d_1d_3+\dots+d_1d_k+d_2d_3+\dots+d_{k-1}d_k.$$ Так как $nd_1+\dots+nd_k = n(d_1+\dots+d_k) = n^2$, достаточно убедиться, что на $n^2$ не делится сумма $$D = d_1d_2+d_1d_3+\dots+d_1d_k+d_2d_3+\dots+d_{k-1}d_k.$$ А это так, потому что $0 < 2D = (d_1+\dots+d_k)^2-\left( {d_1^2 + \ldots + d_k^2} \right) < n^2$.