15-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2015 жыл

Бір уақытта $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ және $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32$ теңдіктері орындалатын нақты оң $a$, $b$, $c$, $d$ сандарының жоқ екенін дәлелдеңіз ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Заметим, что следующее: $$6=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}>\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{c}\cdot \dfrac{c}{d}}=3\sqrt[3]{\dfrac{a}{d}},$$ откуда $3\sqrt[3]{\dfrac{a}{d}}<6$ или $\dfrac{a}{d}<8$. Аналогично получим неравенства ${\dfrac{d}{c}<8}$, ${\dfrac{c}{b}<8}$ и ${\dfrac{b}{a}<8}$. Из последних четырех неравенств получим $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}<32.$ Противоречие.