Processing math: 63%

Математикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып


ABC үшбұрышында N нүктесі — B бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, ал M нүктесі — AC қабырғасының ортасы. BD кесіндісінде DA=DA1 және DC=DC1 болатындай A1 және C1 нүктелері табылған. AA1 және CC1 түзулері E нүктесінде қиылысады. ME түзуі BC кесіндісін F нүктесінде қияды. AB+BF=CF теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   3
9 года 3 месяца назад #

Если D=N, получаем что ΔANA1;ΔCNC1 - равнобедренные ,положим что углы BAC=A,ABC=B. Получим что NA1A=2A+B4,NC1C=902A+B4 , откуда угол AEC=90 , так же треугольник ΔAME;ΔMEC равнобедренные , так как ME=AC2 как медиана проведенная к гипотенузе , откуда NA1A=AEM , MFC=B2. Значит FM||BN , теперь можно доказать к примеру так , из за параллельности , получим

CF=ACsin(A+B22sinB2 и AB=ACsin(A+B)sinB, осталось показать что

sin(A+B)+sinA=2sin(A+B2)cos(B2)

что в свою очередь верное тождество.

пред. Правка 2   3
7 года 10 месяца назад #

Решение. ∠A_1 AN=\frac 1 2∠BNC,∠C_1 CN=\frac 1 2∠BNA=>∠AEC=90°. \triangle AME – равнобедренный =>ME∥NA_1.

Проведем AA'∥BN до пересечения с BC. \triangle ABA' равнобедренный, F – середина A' C=> AB+BF=A' F=CF.

  6
2 месяца 10 дней назад #

Отличное решение

  0
1 года 2 месяца назад #

Легко заметить что \angle{AEC}=90, и BN \parallel FM, пусть f' симметрична f относительно m, тогда AF'=CF, K точка пересечения BN с AF'. Из параллельности AB=AK и так как BFKF' - параллелограм то KF' = BF, \Rightarrow AK + KF' = AB + BF = CF