Математикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып
ABC үшбұрышында N нүктесі — B бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, ал M нүктесі — AC қабырғасының ортасы. BD кесіндісінде DA=DA1 және DC=DC1 болатындай A1 және C1 нүктелері табылған. AA1 және CC1 түзулері E нүктесінде қиылысады. ME түзуі BC кесіндісін F нүктесінде қияды. AB+BF=CF теңдігін дәлелдеңіздер.
(
М. Кунгожин
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Если D=N, получаем что ΔANA1;ΔCNC1 - равнобедренные ,положим что углы ∠BAC=A,∠ABC=∠B. Получим что NA1A=2∠A+∠B4,NC1C=90∘−2A+B4 , откуда угол ∠AEC=90∘ , так же треугольник ΔAME;ΔMEC равнобедренные , так как ME=AC2 как медиана проведенная к гипотенузе , откуда ∠NA1A=∠AEM , ∠MFC=∠B2. Значит FM||BN , теперь можно доказать к примеру так , из за параллельности , получим
CF=AC⋅sin(∠A+∠B22⋅sin∠B2 и AB=AC⋅sin(∠A+∠B)sin∠B, осталось показать что
sin(∠A+∠B)+sin∠A=2sin(∠A+∠B2)⋅cos(∠B2)
что в свою очередь верное тождество.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.