Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып


ABC үшбұрышында N нүктесі — B бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, ал M нүктесі — AC қабырғасының ортасы. BD кесіндісінде DA=DA1 және DC=DC1 болатындай A1 және C1 нүктелері табылған. AA1 және CC1 түзулері E нүктесінде қиылысады. ME түзуі BC кесіндісін F нүктесінде қияды. AB+BF=CF теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   3
9 года 2 месяца назад #

Если D=N, получаем что ΔANA1;ΔCNC1 - равнобедренные ,положим что углы BAC=A,ABC=B. Получим что NA1A=2A+B4,NC1C=902A+B4 , откуда угол AEC=90 , так же треугольник ΔAME;ΔMEC равнобедренные , так как ME=AC2 как медиана проведенная к гипотенузе , откуда NA1A=AEM , MFC=B2. Значит FM||BN , теперь можно доказать к примеру так , из за параллельности , получим

CF=ACsin(A+B22sinB2 и AB=ACsin(A+B)sinB, осталось показать что

sin(A+B)+sinA=2sin(A+B2)cos(B2)

что в свою очередь верное тождество.

пред. Правка 2   2
7 года 9 месяца назад #

Решение. A1AN=12BNC,C1CN=12BNA=>AEC=90°. AME – равнобедренный =>MENA1.

Проведем AABN до пересечения с BC. ABA равнобедренный, F – середина AC=>AB+BF=AF=CF.

  5
1 месяца 18 дней назад #

Отличное решение

  0
1 года 1 месяца назад #

Легко заметить что AEC=90, и BNFM, пусть f' симметрична f относительно m, тогда AF=CF, K точка пересечения BN с AF. Из параллельности AB=AK и так как BFKF - параллелограм то KF=BF,AK+KF=AB+BF=CF