Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, II тур регионального этапа

Зрители оценивают фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычисляется как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени $T$ рейтинг был целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента $T$? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 5.
Решение. Рассмотрим некоторый момент, когда рейтинг уменьшился на 1. Пусть перед этим проголосовало $n$ человек, и рейтинг был целым числом $x$. Значит, сумма баллов стала равна $nx$. Пусть следующий зритель выставил $y$ баллов. Тогда сумма баллов стала равна $nx+y = (n+1)(x-1) $, откуда $y = x-n-1$. Наибольшее возможное значение $x$ равно 10, а наименьшее возможное значение $n$ равно 1; значит, наибольшее значение $y$ (на первом таком шаге) равно 8. С каждым следующим шагом значение $x$ уменьшается на 1, а значение $n$ увеличивается на 1.Следовательно, на втором шаге значение $y$ не превосходит 6, на третьем — 4, и т.д. Поскольку любая оценка не меньше 0, число шагов не превосходит 5.
Осталось показать, что пять шагов возможны. Пусть рейтинг в момент $T$ равен 10 (при одном проголосовавшем), затем второй зритель выставляет 8 баллов, третий — 6, четвёртый — 4, пятый — 2, а шестой — 0. Тогда рейтинг последовательно принимает значения 9, 8, 7, 6 и 5.