Эйлер атындағы олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Көрермендер фильмді 0-ден 10-ға дейінгі бүтін ұпаймен бағалайды. Уақыттың әр мезетінде фильмнің рейтингі оған дейін қойылған ұпайлардың қосындысын сол ұпайлар санына бөлу арқылы есептелінеді. Қандай да бір $T$ уақытта рейтинг бүтін сан болған, сосын жаңадан дауыс берген көрерменнен кейін ол рейтинг 1 ұпайға азайып отырған. $T$ уақыттан кейін ең көп дегенде қанша көрермен дауыс беруі мүмкін? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 5.
Решение. Рассмотрим некоторый момент, когда рейтинг уменьшился на 1. Пусть перед этим проголосовало $n$ человек, и рейтинг был целым числом $x$. Значит, сумма баллов стала равна $nx$. Пусть следующий зритель выставил $y$ баллов. Тогда сумма баллов стала равна $nx+y = (n+1)(x-1)$, откуда $y = x-n-1$. Наибольшее возможное значение $x$ равно 10, а наименьшее возможное значение $n$ равно 1; значит, наибольшее значение $y$ (на первом таком шаге) равно 8. С каждым следующим шагом значение $x$ уменьшается на 1, а значение $n$ увеличивается на 1.Следовательно, на втором шаге значение $y$ не превосходит 6, на третьем — 4, и т.д. Поскольку любая оценка не меньше 0, число шагов не превосходит 5.
Осталось показать, что пять шагов возможны. Пусть рейтинг в момент $T$ равен 10 (при одном проголосовавшем), затем второй зритель выставляет 8 баллов, третий — 6, четвёртый — 4, пятый — 2, а шестой — 0. Тогда рейтинг последовательно принимает значения 9, 8, 7, 6 и 5.