Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 10 класс

На какое натуральное число нужно умножить 2015, чтобы у полученного числа было ровно 12 натуральных делителей (включая единицу и само число)? (Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: На одно из чисел $5$, $13$, $31$.
Решение. Пусть мы 2015 умножили на число $n$, а $p$ — простой делитель числа $n$. Заметим, что у числа $2015=5\cdot 13 \cdot 31$ есть ровно 8 делителей; это числа из набора $ A=\{1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015\}$. Если бы число $p$ отличалось от простых делителей числа $2015$, то само число $2015n$ имело бы как минимум 16 делителей: это восемь чисел из $A$ и еще восемь чисел, полученные умножением числа $p$ на числа $A$. Поэтому $p$ может принимать только одно из значений $5,13,31$. Заметим, что $2015 \cdot p$ имеет ровно 12 делителей. Тогда $n=p$.