Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 10 сынып


2015 санын қандай санға көбейткенде, пайда болған санның дәл 12 бөлгіші болады (өзін және бірді қосқанда)?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: На одно из чисел 5, 13, 31.
Решение. Пусть мы 2015 умножили на число n, а p — простой делитель числа n. Заметим, что у числа 2015=51331 есть ровно 8 делителей; это числа из набора A={1,5,13,31,65,155,403,2015}. Если бы число p отличалось от простых делителей числа 2015, то само число 2015n имело бы как минимум 16 делителей: это восемь чисел из A и еще восемь чисел, полученные умножением числа p на числа A. Поэтому p может принимать только одно из значений 5,13,31. Заметим, что 2015p имеет ровно 12 делителей. Тогда n=p.