Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 9 класс

Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $\angle CAD=50^\circ$. Найдите сумму $\angle ABC+\angle AED$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $230^\circ$.
Решение. Известно, что во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Тогда $\angle ABC+ \angle ADC = 180^\circ$, $\angle AC D + \angle AED = 180^\circ$. Из треугольника $ACD$ найдем $\angle ACD + \angle ADC = 180^\circ-50^\circ=130^\circ$. Следовательно, $\angle ABC + \angle AED = 360^\circ - (\angle ACD + \angle ADC)=230^\circ$.

$\Delta ASD$ бойынша $\angle ASD = x$, $\angle ADS = 130 - x$.

$ASDE$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған, ендеше бұл төртбұрыш бойынша $\angle AED = 180 - x$.

$ABCD$ төртбұрышынан $\angle ABC = x + 50$.

Демек,

$$\angle ABC + \angle AED = x + 50 + 180^\circ - x = 230^\circ.$$

Жауабы: $230^\circ$.