Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 8 класс

Решите уравнение ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2015$ в целых числах.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Уравнение не имеет решении в целых числах.
Решение. Заметим, что квадрат целого числа при делении на $8$ может давать только остатки $0,1,4$. А число $2015$ дает остаток $7$ при делении на $8$. Но из трех остатков, каждый из которых равен одному из остатков $0,1,4$, нельзя собрать остаток $7$.

$$\forall x,y,z\in \mathbb{Z}: x^2+y^2+z^2=8k-1$$

Рассмотрим остатки полных квадратов при делении на 8. Квадрат четного числа может давать остатки 0 и 4, а нечетного всегда даёт остаток 1, так как $(2к+1)^2= 4k(k+1)+1$. Сумма остатков трех полных квадратов может быть или четной, или 1, или 3. Но $8k-1$ делится на 8 с остатком 7. Значит, уравнение решений не имеет в целых числах. $$8k-1=2015\Rightarrow 8k= 2016 \Rightarrow k=252$$