Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 8 сынып


x2+y2+z2=2015 теңдеуін бүтін сандар жиынында шешіңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Уравнение не имеет решении в целых числах.
Решение. Заметим, что квадрат целого числа при делении на 8 может давать только остатки 0,1,4. А число 2015 дает остаток 7 при делении на 8. Но из трех остатков, каждый из которых равен одному из остатков 0,1,4, нельзя собрать остаток 7.

  1
8 года назад #

x,y,zZ:x2+y2+z2=8k1

Рассмотрим остатки полных квадратов при делении на 8. Квадрат четного числа может давать остатки 0 и 4, а нечетного всегда даёт остаток 1, так как (2к+1)2=4k(k+1)+1. Сумма остатков трех полных квадратов может быть или четной, или 1, или 3. Но 8k1 делится на 8 с остатком 7. Значит, уравнение решений не имеет в целых числах. 8k1=20158k=2016k=252