Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 8 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: Уравнение не имеет решении в целых числах.
Решение. Заметим, что квадрат целого числа при делении на 8 может давать только остатки 0,1,4.
А число 2015 дает остаток 7 при делении на 8. Но из трех остатков, каждый из которых равен одному из остатков 0,1,4, нельзя собрать остаток 7.
∀x,y,z∈Z:x2+y2+z2=8k−1
Рассмотрим остатки полных квадратов при делении на 8. Квадрат четного числа может давать остатки 0 и 4, а нечетного всегда даёт остаток 1, так как (2к+1)2=4k(k+1)+1. Сумма остатков трех полных квадратов может быть или четной, или 1, или 3. Но 8k−1 делится на 8 с остатком 7. Значит, уравнение решений не имеет в целых числах. 8k−1=2015⇒8k=2016⇒k=252
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.