1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, младшая лига

Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $D$, а точка $M$ — середина этой стороны. Докажите, что точка $M$, центр вписанной окружности и середина отрезка $CD$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

Возмём точек $D'$ симметрична точку $D$ относительно точке $М$. Затем используем тэорему Фалеса для треугольника $CIB_{A}$ и $CI_{C}B_{A'}$,где $B_{A}$ точка касанья на стороне $СА$, $I_{C}$ центр вневписанной окружности касаюшие стороны $АВ$, $В_{А'}$ точка касанья вневписанной окружности на стороне $СА$.

Еще тэорему Фалеса для треугольника $СDD'$, $M'$ середина точка СD

Пусть $A_1B_1 \parallel AB$, где $N \in A_1B_1$ и к тому же $N$ диаметрально противоположен $D$, а также $F$ точка касания вневписанной окружности с $AB$. Тогда $C,N,F \in 1$ прямая, ведь по гомотетии с центром $C$, $A_1 \rightarrow A$, $B_1 \rightarrow B$ и точки касания вписанной окр. перейдут в точки касания вневписанной окр. Заметим что $AF = DB$ отсюда $DM = MF$. $DI = NI, DM = MF \Rightarrow MI \parallel NF$ поэтому $M,I$ и середина $CD$ лежат на одной прямой

Пусть $K$ — точка пересечения $ID$ с $\omega$, а $G$ — точка пересечения $AK$ и $BC$. Тогда понятно , что $GE = ED$ и $ID = IK = r$, следовательно, $IE\|AG$, но в то же время $EF\|AG$, поэтому $I,E,F$ коллинеарны