1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, кіші лига, 2005 жыл
Комментарий/решение:
Возмём точек D′ симметрична точку D относительно точке М. Затем используем тэорему Фалеса для треугольника CIBA и CICBA′,где BA точка касанья на стороне СА, IC центр вневписанной окружности касаюшие стороны АВ, ВА′ точка касанья вневписанной окружности на стороне СА.
Еще тэорему Фалеса для треугольника СDD′, M′ середина точка СD
Пусть A1B1∥AB, где N∈A1B1 и к тому же N диаметрально противоположен D, а также F точка касания вневписанной окружности с AB. Тогда C,N,F∈1 прямая, ведь по гомотетии с центром C, A1→A, B1→B и точки касания вписанной окр. перейдут в точки касания вневписанной окр. Заметим что AF=DB отсюда DM=MF. DI=NI,DM=MF⇒MI∥NF поэтому M,I и середина CD лежат на одной прямой
Пусть K — точка пересечения ID с ω, а G — точка пересечения AK и BC. Тогда понятно , что GE=ED и ID=IK=r, следовательно, IE‖, но в то же время EF\|AG, поэтому I,E,F коллинеарны
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.