Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, кіші лига, 2005 жыл


0m2n болатындай m және n бүтін сандары берілген. Онда 22n+2+2m+2+1 санының m=n болғанда ғана толық квадрат болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
1 года назад #

Пусть

22n+2+2m+1+1=x2

x нечетное, всегда, те по мод 4 может давать только 3 и 1

22n+2=(2(n+1)2)

(2n+1+1)2=22n+2+1+2n+2

Значит если m<n, то, число из условия зажимается между последовательными квадратами

Теперь, m>n, тогда

m+2=n+k>n+2

(2n+1+1)2+2n+k2n+2=x2

2n+k2n+2 делится на 2n+2

Тогда,(x(2n+1+1))(x+2n+1+1) делится на 2n+2

Теперь если n1, то n+1 хотя бы 2, отсюда

2n+1 делится на 4, тогда если x по модулю 4 это 3

(x(2n+1+1)) делится максимум на 2

Значит (x+2n+1+1) делится на 2n+1

Тогда x=2n+1k1 (это другой k, не тот который мы использовали ранее)

Теперь, x2=22n+2k2k2n+2+1

Число из условия меньше или равно чем 22n+3+1, ведь m2n

Докажем, что практические всегда 22n+2k2k2n+2+122n+3+1

То есть нужно найти при каких k, это выполняется

2nk2k2n+1

2nk2k=2n2+2n(k22)k

Значит осталось доказать, что 2n(k22)k0

Следовательно, 2n(k22)k

При k2

k22k, (это легко можно доказать и по индукции)

Но тогда 2n(k22)k, потому что 2n1

Значит это действительно так. То есть при k>2, x2 будет слишком большим, а значит все плохо

Тогда k=1, x=2n+11, там будет 2n+2=2m+2, отсюда противоречие

k=2, x=2n+21,

22n+42n+3+1=22n+2+2m+2+1

m>n

322n+22n+3=2m+2

Тогда 2m+2 делится на 2n+3

Если n - натуральное, то 22n+2 делится на 2n+3

Значит 32n11=2mn1

Либо n=1, либо mn1=0, иначе чет=нечет

Из первого, там можно просто перебрать все m, и получить что подходит только 1

Из второго, m=n+1

Тоже противоречие, при таком m, число можно зажать между

(2n+1+1)2, а также (2n+1+2)2.

Теперь если x по мод 4 дает 1,

x(2n+1+1) делится на 2n+1

Тогда x=2n+1k+1

Тут же можно делать такие же рассуждения как для того x, потому что это число еще больше, но тогда делаем такие утверждения и опять получаем противоречие, при m не равно n.

m=n

пред. Правка 4   0
10 месяца 19 дней назад #

Пусть 22n+2+2m+2+1=x2=>x=2y+1, y - целое =>22n+2+2m+2+1=4y2+4y+1=>2m(22nm+1)=y(y+1)

$(2^m, 2^{2n-m}+1)=(y, y+1)=1 =>

i)y=2^m => y+1=2^m+1=2^{2n-m}+1 => m=n

ii)2^m=y+1 => y=2^m-1=2^{2n-m}+1 =>

2^m=2^{2n-m}+2

2n≥m => m=1 => 2^{2n-m}=0

$

Нет решений кроме m=n