1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, кіші лига, 2005 жыл
Комментарий/решение:
Пусть
22n+2+2m+1+1=x2
x нечетное, всегда, те по мод 4 может давать только 3 и 1
22n+2=(2(n+1)∗2)
(2n+1+1)2=22n+2+1+2n+2
Значит если m<n, то, число из условия зажимается между последовательными квадратами
Теперь, m>n, тогда
m+2=n+k>n+2
(2n+1+1)2+2n+k−2n+2=x2
2n+k−2n+2 делится на 2n+2
Тогда,(x−(2n+1+1))(x+2n+1+1) делится на 2n+2
Теперь если n≥1, то n+1 хотя бы 2, отсюда
2n+1 делится на 4, тогда если x по модулю 4 это 3
(x−(2n+1+1)) делится максимум на 2
Значит (x+2n+1+1) делится на 2n+1
Тогда x=2n+1∗k−1 (это другой k, не тот который мы использовали ранее)
Теперь, x2=22n+2∗k2−k∗2n+2+1
Число из условия меньше или равно чем 22n+3+1, ведь m≤2n
Докажем, что практические всегда 22n+2∗k2−k∗2n+2+1≥22n+3+1
То есть нужно найти при каких k, это выполняется
2n∗k2−k≥2n+1
2n∗k2−k=2n∗2+2n∗(k2−2)−k
Значит осталось доказать, что 2n∗(k2−2)−k≥0
Следовательно, 2n∗(k2−2)≥k
При k≥2
k2−2≥k, (это легко можно доказать и по индукции)
Но тогда 2n∗(k2−2)≥k, потому что 2n≥1
Значит это действительно так. То есть при k>2, x2 будет слишком большим, а значит все плохо
Тогда k=1, x=2n+1−1, там будет −2n+2=2m+2, отсюда противоречие
k=2, x=2n+2−1,
22n+4−2n+3+1=22n+2+2m+2+1
m>n
3∗22n+2−2n+3=2m+2
Тогда 2m+2 делится на 2n+3
Если n - натуральное, то 22n+2 делится на 2n+3
Значит 3∗2n−1−1=2m−n−1
Либо n=1, либо m−n−1=0, иначе чет=нечет
Из первого, там можно просто перебрать все m, и получить что подходит только 1
Из второго, m=n+1
Тоже противоречие, при таком m, число можно зажать между
(2n+1+1)2, а также (2n+1+2)2.
Теперь если x по мод 4 дает 1,
x−(2n+1+1) делится на 2n+1
Тогда x=2n+1∗k+1
Тут же можно делать такие же рассуждения как для того x, потому что это число еще больше, но тогда делаем такие утверждения и опять получаем противоречие, при m не равно n.
m=n
Пусть 22n+2+2m+2+1=x2=>x=2y+1, y - целое =>22n+2+2m+2+1=4y2+4y+1=>2m(22n−m+1)=y(y+1)
$(2^m, 2^{2n-m}+1)=(y, y+1)=1 =>
i)y=2^m => y+1=2^m+1=2^{2n-m}+1 => m=n
ii)2^m=y+1 => y=2^m-1=2^{2n-m}+1 =>
2^m=2^{2n-m}+2
2n≥m => m=1 => 2^{2n-m}=0
$
Нет решений кроме m=n
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.