Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 8 класс

Из вершины $C$ остроугольного треугольника $ABC$ опущена высота $CH$, а из точки $H$ опущены перпендикуляры $HM$ и $HN$ на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. Докажите, что треугольники $MNC$ и $ABC$ подобны.

Комментарий/решение

Четырехугольник $CMHN$ вписанный , тогда $\angle CNM = \angle MHC = \angle ABC$ , а $\angle ACB$ общий , откуда $\Delta MNC$ и $\Delta ABC$ подобны

$\angle CNM=a$ деп белгілеп алайық. $CMHN$ шеңберге іштей сызылған төртбұрыш. Себебі $\angle HNC+\angle HMC=180^\circ$

$\angle CNM=\angle CHM=a$ (бір доғаға тірелетін бұрыштар)

$$\angle MHB=\angle CHB-\angle CHM=90^\circ-a$$

$\triangle HBM$ тік бұрышты үшбұрыш.

$$\angle HBM=180^\circ-(90^\circ+90^\circ-a)=a$$

$\angle CNM=\angle ABC$ және $\angle C$ ортақ болғандықтан

$\triangle NCM$ және $\triangle BCA$ үшбұрыштары ұқсас. Яғни $\triangle NCM$ және $\triangle BCA$ бойынша $\angle N=\angle B$ және $\angle C$ бұрышы ортақ. Д.К.О.