Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 8 сынып

Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының $C$ төбесінен $CH$ биіктігі жүргізілді, ал $H$ нүктесінен $BC$ және $AC$ қабырғаларына сәйкесінше $HM$ және $HN$ перпендикулярлары түсірілді. $MNC$ және $ABC$ үшбұрыштары ұқсас екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Четырехугольник $CMHN$ вписанный , тогда $\angle CNM = \angle MHC = \angle ABC$ , а $\angle ACB$ общий , откуда $\Delta MNC$ и $\Delta ABC$ подобны

$\angle CNM=a$ деп белгілеп алайық. $CMHN$ шеңберге іштей сызылған төртбұрыш. Себебі $\angle HNC+\angle HMC=180^\circ$

$\angle CNM=\angle CHM=a$ (бір доғаға тірелетін бұрыштар)

$$\angle MHB=\angle CHB-\angle CHM=90^\circ-a$$

$\triangle HBM$ тік бұрышты үшбұрыш.

$$\angle HBM=180^\circ-(90^\circ+90^\circ-a)=a$$

$\angle CNM=\angle ABC$ және $\angle C$ ортақ болғандықтан

$\triangle NCM$ және $\triangle BCA$ үшбұрыштары ұқсас. Яғни $\triangle NCM$ және $\triangle BCA$ бойынша $\angle N=\angle B$ және $\angle C$ бұрышы ортақ. Д.К.О.