4-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2008 год

Точки $K$, $L$, $M$, $N$ — соответственно середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ выпуклого четырехугольника $ABCD$. Прямая $KM$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямая $LN$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $R$ и $S$ соответственно.
Докажите, что если $AP\cdot PC=BQ\cdot QD$, то $AR\cdot RC=BS\cdot SD$.

Комментарий/решение

Используйте то, что $AP/PC=BQ/QD$. Это верно, поскольку высоты из $A$ и $B$ на $KM$ равны. Аналогично $DS/SB=AR/RC$, дальше легко вывести требуемое