4-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2008 жыл

Дөнес $ABCD$ төртбұрышының $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ қабырғаларының орталарын сәйкесінше $K$, $L$, $M$, $N$ деп белгіленген. $KM$ түзуі $AC$ және $BD$ диагоналдарын сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде, ал $LN$ түзуі $AC$ және $BD$ диагоналдарын сәйкесінше $R$ және $S$ нүктелерінде қияды. Егер $AP \cdot PC = BQ \cdot QD$ болса, онда $AR \cdot RC = BS \cdot SD$ екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Используйте то, что $AP/PC=BQ/QD$. Это верно, поскольку высоты из $A$ и $B$ на $KM$ равны. Аналогично $DS/SB=AR/RC$, дальше легко вывести требуемое