9-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2013 год

Дан квадратный трехчлен $p(x)$ с вещественными коэффициентами. Докажите, что существует натуральное $n$, для которого уравнение $p(x)={1\over n}$ не имеет рациональных корней.

Комментарий/решение

по интерполяционному многочлену Лагранжа легко понять, что все коэффициенты $P(x)$ рациональные, дальше просто считаем дискриминант:

нужно, чтобы $b^2-4ac+4a/n$ был иррациональным. Дальше можно свести к $q_1+q_2/n =$ квадрат, что не всегда выполняется