қазақша
русский9-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2013 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Дана трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$), в которой $\angle ABC > 90^\circ$.
На боковой стороне $AB$ отмечена точка $M$. Обозначим через $O_1$ и $O_2$
центры описанных около треугольников $MAD$ и $MBC$ окружностей соответственно.
Известно, что описанные около треугольников $MO_1D$ и $MO_2C$ окружности
вторично пересекаются в точке $N$. Докажите, что прямая $O_1O_2$ проходит
через точку $N$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все нечетные натуральные $n > 1$ такие, что существует
перестановка $a_1, a_2, \dots, a_n$ чисел $1, 2, \dots, n$, в которой
при всех $k$, $1\leq k\leq n$, одно из чисел $a_k^2-a_{k+1}-1$
и $a_k^2-a_{k+1}+1$ делится на $n$ (здесь мы считаем $a_{n+1}=a_1$).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $a, b, c, d > 0$, $abcd=1$. Докажите неравенство
${(a-1)(c+1)\over 1+bc+c}+{(b-1)(d+1)\over 1+cd+d}+{(c-1)(a+1)\over 1+da+a}
+{(d-1)(b+1)\over 1+ab+b}\geq 0.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Дан квадратный трехчлен $p(x)$ с вещественными коэффициентами.
Докажите, что существует натуральное $n$, для которого уравнение
$p(x)={1\over n}$ не имеет рациональных корней.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AB\parallel DE$,
$BC\parallel EF$, $CD\parallel FA$. Расстояние между прямыми $AB$ и $DE$
равно расстоянию между прямыми $BC$ и $EF$ и расстоянию между прямыми $CD$
и $FA$. Докажите, что сумма $AD+BE+CF$ не превосходит периметра
шестиугольника $ABCDEF$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Таблица $10\times 10$ разбита на 100 единичных квадратиков. Назовем
блоком любой квадрат $2\times 2$, состоящий из четырех единичных
квадратиков этой таблицы. Множество $C$, состоящее из $n$ блоков,
покрывает таблицу (т.е. каждый единичный квадратик таблицы накрыт
некоторым блоком из $C$), но никакие $n-1$ блоков из $C$ эту таблицу
не покрывают. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
комментарий/решение
комментарий/решение