9-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2013 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Дана трапеция

$ABCD$ (

$AD\parallel BC$ ), в которой

$\angle ABC > 90^\circ$ . На боковой стороне

$AB$ отмечена точка

$M$ . Обозначим через

$O_1$ и

$O_2$ центры описанных около треугольников

$MAD$ и

$MBC$ окружностей соответственно. Известно, что описанные около треугольников

$MO_1D$ и

$MO_2C$ окружности вторично пересекаются в точке

$N$ . Докажите, что прямая

$O_1O_2$ проходит через точку

$N$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найдите все нечетные натуральные

$n > 1$ такие, что существует перестановка

$a_1, a_2, \dots, a_n$ чисел

$1, 2, \dots, n$ , в которой при всех

$k$ ,

$1\leq k\leq n$ , одно из чисел

$a_k^2-a_{k+1}-1$ и

$a_k^2-a_{k+1}+1$ делится на

$n$ (здесь мы считаем

$a_{n+1}=a_1$ ).
комментарий/решение

Задача №3. Пусть

$a, b, c, d > 0$ ,

$abcd=1$ . Докажите неравенство

${(a-1)(c+1)\over 1+bc+c}+{(b-1)(d+1)\over 1+cd+d}+{(c-1)(a+1)\over 1+da+a} +{(d-1)(b+1)\over 1+ab+b}\geq 0.$
комментарий/решение(3)

Задача №4. Дан квадратный трехчлен

$p(x)$ с вещественными коэффициентами. Докажите, что существует натуральное

$n$ , для которого уравнение

$p(x)={1\over n}$ не имеет рациональных корней.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ , в котором

$AB\parallel DE$ ,

$BC\parallel EF$ ,

$CD\parallel FA$ . Расстояние между прямыми

$AB$ и

$DE$ равно расстоянию между прямыми

$BC$ и

$EF$ и расстоянию между прямыми

$CD$ и

$FA$ . Докажите, что сумма

$AD+BE+CF$ не превосходит периметра шестиугольника

$ABCDEF$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Таблица

$10\times 10$ разбита на 100 единичных квадратиков. Назовем блоком любой квадрат

$2\times 2$ , состоящий из четырех единичных квадратиков этой таблицы. Множество

$C$ , состоящее из

$n$ блоков, покрывает таблицу (т.е. каждый единичный квадратик таблицы накрыт некоторым блоком из

$C$ ), но никакие

$n-1$ блоков из

$C$ эту таблицу не покрывают. Найдите наибольшее возможное значение

$n$ .
комментарий/решение(1)

результаты