9-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2013 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.  Дана трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$), в которой $\angle ABC > 90^\circ$. На боковой стороне $AB$ отмечена точка $M$. Обозначим через $O_1$ и $O_2$ центры описанных около треугольников $MAD$ и $MBC$ окружностей соответственно. Известно, что описанные около треугольников $MO_1D$ и $MO_2C$ окружности вторично пересекаются в точке $N$. Докажите, что прямая $O_1O_2$ проходит через точку $N$.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2.  Найдите все нечетные натуральные $n > 1$ такие, что существует перестановка $a_1, a_2, \dots, a_n$ чисел $1, 2, \dots, n$, в которой при всех $k$, $1\leq k\leq n$, одно из чисел $a_k^2-a_{k+1}-1$ и $a_k^2-a_{k+1}+1$ делится на $n$ (здесь мы считаем $a_{n+1}=a_1$).
комментарий/решение

---

Есеп №3.  Пусть $a, b, c, d > 0$, $abcd=1$. Докажите неравенство $${(a-1)(c+1)\over 1+bc+c}+{(b-1)(d+1)\over 1+cd+d}+{(c-1)(a+1)\over 1+da+a} +{(d-1)(b+1)\over 1+ab+b}\geq 0.$$
комментарий/решение(3)

---

Есеп №4.  Дан квадратный трехчлен $p(x)$ с вещественными коэффициентами. Докажите, что существует натуральное $n$, для которого уравнение $p(x)={1\over n}$ не имеет рациональных корней.
комментарий/решение

---

Есеп №5. Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$, $CD\parallel FA$. Расстояние между прямыми $AB$ и $DE$ равно расстоянию между прямыми $BC$ и $EF$ и расстоянию между прямыми $CD$ и $FA$. Докажите, что сумма $AD+BE+CF$ не превосходит периметра шестиугольника $ABCDEF$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Таблица $10\times 10$ разбита на 100 единичных квадратиков. Назовем блоком любой квадрат $2\times 2$, состоящий из четырех единичных квадратиков этой таблицы. Множество $C$, состоящее из $n$ блоков, покрывает таблицу (т.е. каждый единичный квадратик таблицы накрыт некоторым блоком из $C$), но никакие $n-1$ блоков из $C$ эту таблицу не покрывают. Найдите наибольшее возможное значение $n$.
комментарий/решение

---