10-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2014 год

На сторонах$BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ лежат точки $M$, $N$, $K$ соответственно, не совпадающие с вершинами. Треугольник $MNK$ назовём красивым, если $\angle BAC=\angle KMN$ и $\angle ABC=\angle KNM$. Докажите, что если в треугольнике $ABC$ существуют два красивых треугольника с общей вершиной, то треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Комментарий/решение

Пусть второй треугольник будет $DNE$ соответственно с общей вершиной $N$ с $MNK$ и $D \in AB , \ E \in BC$. Пусть $ F \in KM \cap DE$ тогда из условия $\angle FEN = \angle FMN, \ \angle FKN = \angle FDN$ четырехугольники $FKDN, FEMN$ вписанные, тогда $\angle NME = \angle NFD = \angle NKD$ или $\angle BKN + \angle NME=180^{\circ}$ значит $BKNM$ так же вписанный, откуда $\angle KNM + \angle ABC = 2 \angle ABC = 180^{\circ}$ или $\angle ABC=90^{\circ}$.