10-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2014 жыл
ABC үшбұрышының BC, CA және AB қабырғаларынан сәйкесінше M, N, K нүктелері алынған (үшбұрыштың төбелерінен басқа). Егер ∠BAC=∠KMN және ∠ABC=∠KNM болса, онда MNK үшбұрышын әдемі деп атаймыз. Егер ABC үшбұрышында ортақ төбесі бар екі әдемі үшбұрышы табылатын болса, онда ABC тікбұрышты екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть второй треугольник будет DNE соответственно с общей вершиной N с MNK и D∈AB, E∈BC. Пусть F∈KM∩DE тогда из условия ∠FEN=∠FMN, ∠FKN=∠FDN четырехугольники FKDN,FEMN вписанные, тогда ∠NME=∠NFD=∠NKD или ∠BKN+∠NME=180∘ значит BKNM так же вписанный, откуда ∠KNM+∠ABC=2∠ABC=180∘ или ∠ABC=90∘.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.