10-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2014 жыл

$ABC$ үшбұрышының $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларынан сәйкесінше $M$, $N$, $K$ нүктелері алынған (үшбұрыштың төбелерінен басқа). Егер $\angle BAC=\angle KMN$ және $\angle ABC=\angle KNM$ болса, онда $MNK$ үшбұрышын әдемі деп атаймыз. Егер $ABC$ үшбұрышында ортақ төбесі бар екі әдемі үшбұрышы табылатын болса, онда $ABC$ тікбұрышты екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть второй треугольник будет $DNE$ соответственно с общей вершиной $N$ с $MNK$ и $D \in AB , \ E \in BC$. Пусть $ F \in KM \cap DE$ тогда из условия $\angle FEN = \angle FMN, \ \angle FKN = \angle FDN$ четырехугольники $FKDN, FEMN$ вписанные, тогда $\angle NME = \angle NFD = \angle NKD$ или $\angle BKN + \angle NME=180^{\circ}$ значит $BKNM$ так же вписанный, откуда $\angle KNM + \angle ABC = 2 \angle ABC = 180^{\circ}$ или $\angle ABC=90^{\circ}$.