Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2011 год

Пять точек $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ расположены на плоскости так, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Определите наибольшее возможное значение наименьшего из углов $\angle A_i A_j A_k$, где $i,j,k$ — различные индексы из $\{1,2,3,4,5\}$.

Комментарий/решение

Ответ:$36°$

Расмотрим $P$ - выпуклую оболочку этих 5 точек. Легко доказать, что один из углов многоугольника $P$ : $\angle XYZ\le 108°$. Внутри этого угла находятся оставшееся 2 точки. Так как никакие 3 точки не лежат на одной прямой, то один из углов с вершиной в точке $Y$ не более чем $(\frac {108}3)° =36°$. Значит наименший угол не более $36°$.

Пример:Пусть точки $A_1,...,A_5$ являются вершинами правильного пятиугольника.