Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2011 жыл
Жазықтықтан алынған A1,A2,A3,A4,A5 нүктелерінің ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. {1,2,3,4,5} жиынының әртүрлі i,j,k индекстерімен алынған ең кіші ∠AiAjAk бұрышының ең үлкен мүмкін мәнін анықтаңдар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:36°
Расмотрим P - выпуклую оболочку этих 5 точек. Легко доказать, что один из углов многоугольника P : \angle XYZ\le 108°. Внутри этого угла находятся оставшееся 2 точки. Так как никакие 3 точки не лежат на одной прямой, то один из углов с вершиной в точке Y не более чем (\frac {108}3)° =36°. Значит наименший угол не более 36°.
Пример:Пусть точки A_1,...,A_5 являются вершинами правильного пятиугольника.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.